Dynamique des tourbillons et statistique des vortex ponctuels

par Olivier Agullo

Thèse de doctorat en Sciences

Sous la direction de ALBERTO VERGA.

Soutenue en 1997

à Aix-Marseille 1 .

mots clés

• Tourbillons (mécanique des fluides)
• Processus stochastiques
• Fluides, Dynamique des

Résumé

Le theme general de ce memoire est l'etude de differents processus et phenomenes physiques lies aux ecoulements tourbillonaires. Il est constitue de trois parties independantes. Dans le premier chapitre, on s'interesse a un ecoulement de beltrami quasi-symetrique. Les ecoulements de beltrami bien que possedant un champ de vitesse stationnaire presentent une topologie des lignes de courant chaotique. Les proprietes d'advection et de transport qui en resultent sont etudiees a partir de simulations numeriques. Un modele de marche aleatoire sur un reseau discret, qui utilise le caractere quasi-symetrique de l'ecoulement et reproduit les principales caracteristiques observees numeriquement, est ensuite presente. Enfin, en effectuant le passage a la limite continue du modele, on obtient un processus stochastique non-markovien qui satisfait a une equation de diffusion non-locale. Dans le second chapitre, on regarde la dynamique de deux vortex ponctuels dans un milieu visqueux. Elle peut etre decrite a partir d'une equation de type fokker-planck. Une solution exacte est deduite dans le cas ou les deux vortex ont des circulations identiques. Un processus de fusion est mis en evidence. La limite d'une viscosite tendant vers zero est aussi etudiee et permet de voir que la distribution de probabilite de la distance des deux vortex est geometriquement concentree sur une structure en forme de spirale. Le troisieme chapitre porte sur l'etude de la thermodynamique des vortex ponctuels. Dans un premier temps, on deduit les equations pour la fonction courant lorsque le systeme est a l'equilibre et dans la limite d'un nombre infini de vortex ponctuels. On considere le cas ou les circulations sont des variables aleatoires et n'ont donc pas leurs valeurs fixees. Dans un second temps, on presente quelques resultats relatifs a l'introduction d'une longueur d'interaction de portee finie dans le systeme et en particulier on montre qu'il existe des solutions caracterisees par une localisation spatiale de la vorticite.

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