Application d'une nouvelle formulation variationnelle aux equations d'ondes harmoniques. Problemes de helmholtz 2d et de maxwell 3d

par OLIVIER CESSENAT

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Patrick Joly.

Soutenue en 1996

à Paris 9 .

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  • Résumé

    Une nouvelle technique de resolution des equations aux derivees partielles elliptiques lineaires a ete introduite dans des94. Nous appellerons cette technique formulation variationnelle ultra faible (uwvf). L'objet de ce travail est l'etude des potentialites de cette methode pour les problemes d'onde, en particuliers les problemes de helmholtz et de maxwell. Ces deux problemes ont de larges applications industrielles. Citons pour helmholtz les problemes de prospection miniere, de navigation sous-marine, de controle des structures dans les centrales nucleaires ou pour le batiment, de recherche archeologique, de facon generale pour tous les problemes de detection de fissures ou de cavite. De plus, le cas simplifie de helmholtz scalaire dans un milieu borne bi-dimensionnel a caracteristiques constantes non dissipatives est interessant pour ses vertus pedagogiques. Cette etude fait l'objet d'une premiere partie dont la presentation suit celle de la methode des elements finis (fem). En effet, si les deux methodes sont conceptuellement differentes, elles sont proches dans la mise en oeuvre pratique. Le premier chapitre est dedie a l'etude du probleme continu et de la formulation variationnelle. Le deuxieme chapitre concerne la technique de discretisation de type galerkin. Le troisieme chapitre etudie l'efficacite de la methode du point de vue de l'ordre de convergence. Ceci est realise par des demonstrations mathematiques ainsi qu'une large serie d'experiences numeriques. En particulier, il est montre et prouve que l'ordre de convergence est minore par une loi lineaire en fonction du nombre de degres de liberte. Des applications a des problemes de diffraction sont presentees dans un quatrieme chapitre. Enfin, un dernier chapitre generalise la formulation variationnelle au cas de coefficients variables. Pour d'autres applications industrielles, la deuxieme partie de cet ouvrage etudie les problemes harmoniques d'electromagnetisme en domaine borne dans des milieux aux caracteristiques scalaires complexes. Entre autres applications, citons les problemes de communications, libres dans l'espace ou canalisees par un guide d'onde, et les problemes de detection aux nombreuses applications militaires. Cette partie, legerement moins complete que la premiere en ce qui concerne les analyses theoriques de la methode, presente un grand nombre de simulations numeriques et de comparaisons aux methodes classiques. Neanmoins l'analyse du probleme suit la meme demarche logique en presentant les difficultes supplementaires induites par le caractere tri-dimensionnel des inconnues et du domaine ainsi que par les conditions supplementaires que sont les relations de gauss ou relations de divergence. Un resultat important non trival concerne l'ordre de convergence de la methode dans le vide pour un probleme sans source volumique. L'ordre de la methode evolue en racine carree du nombre de degres de liberte, ce qui, pour un probleme tri-dimensionnel, constitue un bon resultat.


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  • Détails : 250 P.
  • Annexes : 45 REF.

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