Parallelisation en temps et en espace de la resolution d'equations d'evolution, controle de la solution

par FABIENNE JEZEQUEL

Thèse de doctorat en Sciences appliquées

Sous la direction de René Alt.

Soutenue en 1996

à Paris 6 .

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  • Résumé

    Cette these presente une resolution parallele en temps et en espace des equations d'evolution par methode implicite de collocation. En chaque point de l'espace, la solution d'une equation d'evolution est alors approchee par un polynome dependant du temps. La resolution d'une equation d'evolution par methode implicite de collocation consiste a determiner les coefficients de ces polynomes. Ces coefficients sont en fait solution d'un systeme lineaire tridiagonal par blocs. Ce systeme lineaire peut etre resolu en parallele et les differents polynomes obtenus, associes chacun a un point de l'espace discretise, peuvent etre calcules en parallele. De plus, pour un intervalle de temps fixe, la solution d'une equation d'evolution peut etre approchee par ces polynomes en n'importe quel point de cet intervalle. Les differents polynomes peuvent donc etre calcules en parallele aux differents instants consideres. La methode implicite de collocation a ete implantee sur connection machine cm5 et sur cray t3d, puis comparee avec des methodes de differences finies en mode data-parallele et en mode echange de messages. Pour un meme nombre de points en espace, a partir d'un certain nombre de points en temps, le temps d'execution du code implantant la methode implicite de collocation est alors inferieur a celui implantant la methode implicite ou explicite de differences finies. Comme il ne faut pas uniquement calculer vite, mais surtout calculer juste, nous avons estime l'erreur d'arrondi commise lors de la resolution d'equations d'evolution. Dans le cas de la resolution de l'equation de la chaleur par differences finies, le moment d'ordre 1 de l'erreur d'arrondi relative a ete estime a chaque iteration en temps. Lorsque, en arithmerique arrondie au plus pres, les donnees initiales et les coefficients du schema de differences finies tombent juste en machine, le moment d'ordre 1 de l'erreur d'arrondi est theoriquement nul. Dans ce cas, le moment d'ordre 2 de l'erreur d'arrondi relative a egalement ete calcule. Nous avons montre que l'evolution de l'erreur d'arrondi dans le temps est lineaire. Nous avons egalement estime l'erreur d'arrondi commise lors de la resolution de l'equation des ondes par differences finies. Nous avons notamment etudie la propagation de l'erreur d'arrondi dans le cas d'ondes generees par une source sismique. Cette etude a alors permis la validation numerique du code de propagation d'ondes acoustiques developpe a l'institut francais du petrole. Pour pouvoir determiner la precision de la solution essentiellement au niveau du front d'onde, nous avons estime l'erreur d'arrondi absolue plutot que l'erreur d'arrondi relative. L'evolution dans le temps du moment d'ordre 2 de l'erreur d'arrondi est alors au mieux lineaire. Nous avons egalement valide la solution d'une equation d'evolution par methode implicite de collocation. Nous avons montre qu'il est possible de calculer le degre optimal des polynomes de collocation de maniere a ce que l'integration soit la plus precise possible. Nous avons aussi estime un intervalle de temps optimal pour l'integration.


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Informations

  • Détails : 3 VOL., 147 P.
  • Annexes : 78 REF.

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  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Non disponible pour le PEB
  • Cote : T Paris 6 1996 591
  • Bibliothèque : Centre Technique du Livre de l'Enseignement supérieur (Marne-la-Vallée, Seine-et-Marne).
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : PMC RT P6 1996
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