Bifurcations d'orbites homoclines pour certains systèmes réversibles : applications au problème des vagues

Bifurcations of homoclinic orbits for some reversible systems : applications to water waves

• Auteur / Autrice : Eric Lombardi
• Direction : Gérard Iooss
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1996
• Etablissement(s) : Nice
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Nice-Sophia Antipolis. Faculté des sciences
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Alain Chenciner, Frédéric Pham, Robert H. Roussarie
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Pierre Ramis, Jürgen Scheurle

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques

Champs vectoriels

Solitons

Perturbations singulières (mathématiques)

Formes normales (mathématiques)

Théorie de la bifurcation

Calcul réversible

Mots clés libres

Sciences et techniques communes

Mathématiques

Orbite homocline

Problème des vagues

Intégrales oscilantes

Résumé

On étudie la classe des champs de vecteurs réversibles, en dimension finie ou non, dont le spectre de la différentielle présente au voisinage de l'axe imaginaire la bifurcation suivante : superposition d'une dynamique oscillante induite par une paire de valeurs propres imaginaires pures d'ordre 1, simples et opposées, et d'une dynamique lente induite par une paire de valeurs propres passant du cas hyperbolique (+r et -r) au cas oscillant (+ir et -ir) ou r est la racine carrée du module du paramètre de bifurcation. Un tel champ de vecteurs en dimension infinie régit les ondes non linéaires a la surface libre d'un fluide parfait en présence de gravité et de tension superficielle. Pour les champs infiniment dérivables, on prouve d'une part l'existence, pour chaque valeur du paramètre de bifurcation, de solutions périodiques arbitrairement petites jusqu'à 0 et d'autre part l'existence de solutions réversibles homoclines à des orbites périodiques d'amplitude polynomialement petite par rapport à r. Pour les champs analytiques, on montre l'existence de solutions réversibles homoclines à des orbites périodiques exponentiellement petites (d'ordre exp(-c/r)). On ne peut se ramener dans ce cas à la dimension 4 via le théorème de la variété centrale, car la démonstration s'appuie sur la construction de prolongements holomorphes des solutions pour obtenir des majorations exponentiellement petites d'intégrales oscillantes. Enfin, on démontre qu'en dimension 4, les petites perturbations de la forme normale à l'ordre 2 sont en général singulières : le système perturbé, à l'inverse de la forme normale n'admet pas de solutions réversibles homoclines à 0.

This thesis is devoted to the study of reversible vector fields, in finite or infinite dimensions, when the following bifurcation of the spectrum of the differential occurs near the imaginary axis: an « oscillatory » dynamic of order 1, induced by two simple, opposite eigenvalues lying on the imaginary axis, is superposed on a « slow » dynamic induce by a pair of eigenvalues moving from the hyperbolic case (+r and -r) to the oscillatory case (+ir and -ir) where r is the square root of the modulus of the bifurcation parameter. Such a vector field in infinite dimensions occurs when describing the non linear waves at the free surface on an inviscid fluid layer in presence of gravity and surface tension. For the smooth vector fields, we prove, on one hand, for each small value of the bifurcation parameter, the existence of periodic solutions of arbitrary small size until 0, on the other hand the existence of periodic solutions homoclinic to periodic orbits of small amplitude of polynomial order with respect to r. For the analytic vector fields, the existence of reversible homoclinic connections to exponentially small periodic orbit is shown. The center manifold reduction can no longer be used, since the proof is based on holomorphic continuation of solutions, used to compute exponentially small upper bounds of oscillatory integrals. Finally, the small perturbations of the normal form of order 2, in dimension 4, are proved to be singular in general: the perturbed system, does not admit any reversible homoclinic connections to 0, whereas the normal form system does.