Groupes de Lie-Poisson

par Véronique Chloup-Arnould

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Simone Gutt.

Soutenue en 1996

à Metz .


  • Résumé

    Dans cette thèse nous étudions les structures de Lie-Poisson. De manière plus précise deux thèmes sont abordés. Le premier est de nature classificatoire. Nous donnons une description complète des algèbres de Manin (c'est-à-dire les grandes algèbres d'un triple de Manin) associées à des structures de bigèbre de lie sur une algèbre de lie réelle semi-simple. Ensuite, en adaptant au cas réel les résultats de Belavin et Drinfeld décrivant les solutions de l'équation de Yang-Baxter standard modifiée non nulle sur une algèbre de lie semi-simple complexe, nous donnons les solutions générales de l'équation de Yang-Baxter modifiée standard non nulle sur une algèbre de lie réelle semi-simple. Enfin nous donnons des résultats partiels concernant les structures de bigèbre liées aux solutions de l'équation de Yang-Baxter modifiée non standard sur une algèbre de lie réelle simple telle que sa complexifiée ne soit pas simple. Le deuxième thème est celui de la linéarisation locale d'une structure de lie-poisson. Nous montrons, en utilisant le théorème de linéarisation analytique dans le cas d'une structure de poisson de j. Conn, que si (g,p) est un groupe de lie-poisson, et si l'algèbre duale est la somme directe d'un idéal semi-simple et d'un idéal abélien, alors p est analytiquement linéarisable dans un voisinage de l'identité. Dans le cadre d'une structure de poisson générale cette proposition peut-être mise en défaut. Nous montrons par ailleurs que toute structure de lie-poisson exacte sur un groupe de lie nilpotent de pas deux est linéaire, sur un groupe de lie nilpotent de pas trois et de dimension inferieure ou égale a six est linéarisable et qu'il existe des structures de lie-poisson exactes sur un groupe de lie nilpotent de pas quatre et de dimension cinq qui ne sont pas linéarisables

  • Titre traduit

    Poisson-Lie groups


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Informations

  • Détails : 1 vol. (115 f.)
  • Annexes : Bibliogr. f. 113-115

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  • Cote : MF-1996-CHL
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