Caractérisation de domaines et d'hypersurfaces convexes

par Hervé Gaussier

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Bernard Coupet.

  • Titre traduit

    Characterization of convex domains and hypersurfaces


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  • Résumé

    Les deux problèmes principaux étudiés dans ce travail sont l'existence d'un modèle explicite pour les domaines convexes à groupe d'automorphismes non compact et la stabilité de la structure d'un hypersurface sous l'action d'une application de Cauchy-Riemann continue en plusieurs variables complexes. Ces problèmes sont liés au comportement au bord d'applications holomorphes. Les hypothèses faites aussi bien sur les domaines que sur les hypersurfaces étant locales en un point, la géométrie au voisinage de ce point joue un rôle essentiel. Trouver des dilatations en ce point s'avère donc être d'une importance capitale. Le lien entre le domaine initial et le domaine polynomial obtenu après dilatation est établi en étudiant l'hyperbolicité au sens de Kobayashi et la rigidité des domaines polynomiaux. Pour caractériser des domaines à groupe d'automorphismes non compact, convexes de type fini au voisinage du point d'accumulation, considérés dans le premier problème, nous avons défini des dilations liées à la convexité locale et avons trouvé un modèle polynomial rigide convexe pour de tels domaines. Nous avons ainsi pu généraliser le théorème de Wong-Rosay au cas des domaines non bornés. Les dilatations introduites étant purement locales, leur utilisation a été essentielle dans la caractérisation des hypersurfaces considérées dans le second problème. Nous avons montré que l'image convexe d'une hypersurface strictement pseudoconvexe par une application de Cauchy-Riemann continue non constante est strictement pseudoconvexe. Un tel résultat nécessite une charactérisation complète des domaines polynomiaux convexes biholomorphes à la boule unité.

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  • Détails : 92 p

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