Diffusions dégénerées, réfléchies ou a dérives singulières : Etude des lois et des formes de Dirichlet associées

par Myriam Fradon

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Patrick Cattiaux.

Soutenue en 1995

à Paris 11 .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    On etudie, en dimension finie, des processus reversibles de matrice de diffusion eventuellement degeneree, et leurs formes de dirichlet associees. On s'interesse d'abord au cas d'un processus reflechi reversible, de densite a chaque instant reguliere et de matrice de diffusion a autorisee a degenerer, dans une compactification d'un domaine a bord peu lisse. On construit la forme de dirichlet e associee a ce processus, et on montre grace a une suite d'approximations que le processus reflechi est une semi-martingale (cf pardoux et r. Williams). Puis, si e et la forme associee au brownien reflechi sont regulieres sur une meme compactification, on montre que la reflexion au bord se fait dans la direction conormale an, ou n est la direction de reflexion du brownien (cf chen). Dans la seconde partie, on etudie un processus similaire, mais sur l'espace tout entier, avec pour matrice de diffusion l'identite et pour densite a chaque instant le carre d'une fonction de h#1 (i. E. Un brownien plus un drift singulier). On presente deux nouvelles demonstrations, l'une analytique et l'autre probabiliste, de l'unicite markovienne pour la forme associee a ce processus (cf rockner et zhang). Comme application, on demontre que toute mesure stationaire d'energie finie pour ce processus est reversible. Dans la troisieme partie, on utilise les outils developpes dans la premiere pour etendre les resultats de la seconde au cas d'une matrice de diffusion generale (autorisee a degenerer). On demontre la regularite de la forme de dirichlet etudiee (mais pas l'unicite markovienne, faute de resultat de maximalite analogue a ceux du cas elliptique). On prouve egalement que, sous certaines hypotheses de bornitude des densites, les mesures stationnaires d'energie finie sont reversibles


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Informations

  • Détails : 1 vol. (140 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 141-144. Index

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  • Cote : TH2014-012280
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
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