Estimation par ondelettes de la densité marginale d'un processus stochastique : temps discret, temps continu et discrétisation

Wavelet density estimation for a stochastic process : discrete time setup, continuous time setup and discretization

• Auteur / Autrice : Frédérique Leblanc
• Direction : Denis Bosq
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Statistiques
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Nous considerons un processus stochastique dont la loi marginale est invariante dans le temps et admet une densite que nous estimons par projection sur une base d'ondelettes. Nous supposons (a une exception pres) le processus fortement melangeant. Nous demontrons que l'estimateur non parametrique envisage est convergent pour les risques associes aux normes l#p (p est un entier superieur ou egal a deux). Pour des processus a temps discret nous obtenons les memes vitesses de convergence que lorsque les observations sont independantes. Ces vitesses dependent de l'espace fonctionnel de besov auquel appartient la densite inconnue et du risque considere. Pour le temps discret, ces resultats sont sans surprise, dans le sens ou, ils sont equivalents a ceux obtenus pour l'echantillon i. I. D. , dans un cadre d'estimation semblable. En revanche, dans le cas d'un processus a temps continu ayant de bonnes proprietes locales, l'erreur d'estimation converge vers zero avec une vitesse independante de l'espace de besov et de la fonction de perte consideres. Cette vitesse est du meme ordre de grandeur que celle obtenue dans un cadre d'hypotheses parametriques. Les hypotheses utilisees dans le cas continu n'ayant pas d'equivalent en temps discret, et, qui portent sur le comportement des densites jointes de variables proches dans le temps, permettent d'etablir une vitesse de convergence sur-optimale. De plus, nous verifions nos hypotheses pour des processus tels que des chaines de markov (modeles arch) et des processus de diffusion. Dans le cas continu, l'estimateur de la densite marginale est construit a partir d'un continuum d'observations entre les instants 0 et t. Afin de calculer effectivement cet estimateur, nous en avons etudie deux versions discretisees. Nous avons notamment, etabli un nombre de points de discretisation de la trajectoire jusqu'a l'instant t, garantissant une erreur de discretisation inferieure a l'erreur d'estimation