Thèse soutenue

Systèmes elliptiques non linéaires conservatifs dans des cylindres infinis
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Auteur / Autrice : Jean-René Licois
Direction : Laurent Véron
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 1994
Etablissement(s) : Tours
Jury : Président / Présidente : Catherine Bandle
Examinateurs / Examinatrices : Victor A. Galaktionov, Piotr T. Chruściel, Ahmad El Soufi
Rapporteurs / Rapporteuses : Henri Berestycki

Résumé

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Etude lorsque t tend vers l'infini, du comportement des solutions d'un problème d'évolution elliptique, conservatif, sur une variété riemannienne compacte. Première partie: perturbation linéaire d'un opérateur monotone (Laplacien associé à une non-linéarité analogue a une puissance). On montre que toute solution positive converge vers une solution du problème stationnaire associé. Pour les solutions de signe quelconque, on dispose, sous certaines conditions, d'un résultat d'homogénéisation asymptotique. Dans tous les cas, le système dynamique associe possède un attracteur maximal forme des solutions globales. Deuxième partie: généralisation aux solutions positives d'un système d'équations aux dérivées partielles elliptiques avec couplage non linéaire. Troisième partie: on considère une perturbation non-linéaire (de type puissance) d'un opérateur linéaire. Nos travaux portent sur la recherche de conditions, portant sur la norme infinie d'une solution, qui impliquent l'homogénéisation des solutions positives. Dans le cas de la sphère s1, on montre, en utilisant une décomposition de Fourier, l'existence de solutions s'homogénéisant autour de n'importe quelle solution homogène. On étudie enfin le problème modifie, en remplaçant une certaine puissance de la solution, par sa moyenne.