Mesures d'association et analyse canonique

Measures of association and canonical analysis

• Auteur / Autrice : Guy Martial Nkiet
• Direction : Jacques Dauxois
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Statistiques
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Toulouse 3

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Hilbert

Espaces euclidiens

Corrélation canonique (statistique)

Résumé

Ce travail est essentiellement consacre a l'etude des mesures d'association que l'on peut construire a partir de l'analyse canonique (ac). Nous introduisons une notion de mesure d'association de sous-espaces hilbertiens definie par une serie d'axiomes et, a partir du resultat sur l'invariance, nous montrons qu'une telle mesure s'exprime en fonction des coefficients canoniques au moyen d'une fonction croissante symetrique. Soit (, a, p) un espace de probabilite et deux variables aleatoires (v. A. ) Definies sur cet espace. En considerant les sous-espaces de l#2 (p) engendres par les coordonnees des variables aleatoires (supposes alors multidimensionnels), on montre que la notion precedente permet d'introduire une classe de mesures d'association de variables aleatoires vectorielles definie a partir de l'ac lineaire. Cette classe comprend plusieurs mesures d'association existant dans la litterature. D'autre part, considerant les sous-espaces de l#2 (p) constitues des variables aleatoires reelles mesurables par rapport aux sous-tribus completees de a, engendrees par les variables aleatoires definies precedemment (qui ne sont plus supposes multidimensionnels), on definit une classe de mesures d'association de variables aleatoires fondee sur l'ac non lineaire et on en etudie les proprietes fondamentales. Enfin, on aborde le probleme de l'estimation de ces mesures au vu d'un echantillon i. I. D. , Aussi bien dans le cas de l'ac lineaire que dans celui de l'ac non lineaire. Puis, on etudie les tests de l'hypothese de nullite des coefficients canoniques, utilisant ces mesures. On montre que cette hypothese correspond a la non-correlation (ou absence de liaison) dans le cas de l'ac lineaire et a l'independance des v. A. Dans le cas de l'ac non lineaire. Dans ce premier cas, on obtient des resultats generaux permettant de retrouver, comme cas particuliers, plusieurs resultats trouves dans la litterature. Dans le cas de l'ac non lineaire, on introduit une classe de tests convergents d'independance qui comprend, en particulier, le classique test du khi-deux et des tests construits en utilisant les spline polynomiales d'ordre quelconque. Une etude experimentale par simulation est realisee afin d'estimer les puissances approchees de differents tests appartenant a cette classe et de les comparer a celles de tests usuels. C'est ainsi que l'on met en evidence (pour les exemples consideres), d'une part, une convergence plus rapide (vers 1) de la puissance des tests fondes sur les spline polynomiales par rapport a celle correspondant au test du khi-deux et, d'autre part, une superiorite, lorsque l'on n'est pas dans le cas gaussien, des tests de la classe introduite sur des tests classiques comme celui base sur le coefficient de correlation lineaire empirique ou encore ceux utilisant le rho de Spearman ou le tau de Kendall.