Calcul différentiel sur la variété diff+∞(S1) et calcul homologique du groupe diff+∞(S1)

Differentiel calculus on the manifold of the circle diffeomorphisms and homological calculus of the group of circle diffeomorphisms

• Auteur / Autrice : Mohamed Salah Bouallagui
• Direction : André Roux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1994
• Etablissement(s) : Metz

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fréchet, Espaces de

Calcul différentiel

Mots clés libres

Espace de Fréchet

Espaces convenables

Groupes d'homologie

Résumé

On se propose d'étudier le groupe G des difféomorphismes du cercle qui conservent l'orientation. Cette étude a été menée dans deux directions : la première consiste à redémontrer que G est une variété de Fréchet, la deuxième est une étude de l'homologie de G à coefficients dans le G-modules des formes différentielles sur le cercle ou le G-module trivial R. D'abord, on a rédéfinit la notion de diffe��rentiabilité des fonctions définies et à valeurs dans un espace de Fréchet. Cette nouvelle définition de la différentiabilité des fonctions n'est autre que la définition d'un opérateur différentiel sur les espaces convenables qui sont des espaces complets pour une topologie dite de Mackey. Les espaces de Fréchet sont des espaces convenables. On redémontre par la suite que G est une variété de Fréchet. En effet, il est localement homéomorphe à l'espace de Fréchet des applications indéfiniment différentiables, définies sur le cercle, à valeurs réelles. Cette démonstration paraît plus simple que celle proposée par F. Sergaert et J. Milnor. Ensuite, on reprend des résultats de A. Haefliger sur le calcul du groupe d'homologie, d'ordre zéro, d'un sous groupe G' de G à coefficients dans le G-module des formes différentielles sur le cercle. Ce dernier résultat a motivé notre intérêt pour l'étude du premier groupe d'homologie de G à coefficients dans le G- module des formes différentielles. L'étude de ce groupe est étroitement liée à la résolution de l'équation en h, de la forme f=hog-h où f est une fonction réelle indéfiniment différentiable définie sur le cercle et g appartient à G. On énonce les conditions d'existence et d'unicité des solutions de cette équation. Ce dernier résultat a permis la caractérisation et la construction de certains éléments de ce groupe d'homologie et ceux du deuxième groupe d'homologie de G à coefficients dans le G-module trivial R. Enfin, on a construit des éléments non nuls des deux groupes d'homologie précédemment cités

Our goal is to study the group G of smooth diffeomorphisms of the circle. In this proceding, we investigate tow directions : first one is to prove again that G is a Fréchet space. The second one is to get some results about homological group of G with coefficients in the G-modules of the vector spaces of smooth differentiel forms on the circle or the real numbers. In the beginning, we define differentiability on Fréchet spaces. These spaces are complete for Mackey topology. The Fréchet spaces are convenient. Then we prove again that G is locally homeomorph to the Fréchet space of smooth applications from the circle and taking there values in the real numbers. The group G is then a Fréchet manifold. Our proofs are more easy than F. Sergaert and J. Milnor ones. Afterwards, we recapture some results of A. Haefliger about the O-th homology group of a subgroup G' of g with coefficients in the G'-module of smooth differential forms on the circle. The later results are motivating our homological calculus of the 1-th homology group of G with coefficient in the same G-module. This calculus is very dependant of the resolution of the equation f=hog-h, where f is a smooth real fonction on the circle and g is a diffeomorphism in G. We get unicity and existence conditions of the equation solutions. This fact has enable us how constructing and caracterizing elements of this1-th homology group and the 2-th homology group of G with trivial coefficients in real numbers. These tow homological groups are not trivial