Quelques propriétés isopérimétriques du mouvement brownien et des marches au hasard sur les graphes

par Didier Piau

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de André Goldman.

Soutenue en 1994

à Lyon 1 .

Le jury était composé de André Goldman.

mots clés

• Mouvement brownien
• Arbres (théorie des graphes)
• Marches aléatoires (mathématiques)
• Inégalités isopérimétriques
• Analyse harmonique (mathématiques)

Résumé

Dans une premiere partie, on etudie une conjecture due a m. Sakai en 1987 et qui concerne le plus petit majorant harmonique de la fonction sous-harmonique x#p sur un domaine de l'espace euclidien. Nous donnons une interpretation brownienne du probleme, qui nous conduit a etudier des fonctionnelles polynomiales du mouvement brownien relatives au temps et au lieu de sortie de ses trajectoires hors du domaine. Cette approche permet d'obtenir de nouvelles estimations, de repondre completement a la question dans certains cas particuliers et elle conduit naturellement a construire de nouvelles extensions. Dans une deuxieme partie, on etudie des proprietes d'isoperimetrie analogues pour les arbres, en relation avec les marches au hasard associees. Nous montrons que le marcheur revient moins souvent a son point de depart sur un arbre donne que sur un arbre qui lui est subordonne. Nous retrouvons de maniere elementaire l'invariance du type des graphes par une quasi-isometrie demontree par m. Kanai en 1986. Finalement, nous obtenons une loi forte des grands nombres pour le rang d'une marche au hasard sur les arbres aleatoires de galton-watson supercritiques et un theoreme central limite pour les arbres homogenes

Titre traduit

Some isoperimetric properties of brownian motion and of random walks on graphs

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