Algebres distributives finies monogenes

par ANDRE SESBOUE

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de Patrick Dehornoy.

Soutenue en 1993

à Caen .

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  • Résumé

    On etudie les structures formees d'un ensemble muni d'une operation binaire satisfaisant a l'identite de distributivite a gauche x*(y*z)=(x*y)*(x*z). Un ensemble muni d'une telle operation est appele ld-algebre. On s'interesse aux ld-algebres finies monogenes. Ce sujet n'a pratiquement pas ete etudie jusqu'a present, la plupart des exemples usuels d'operations distributives satisfaisant en outre une condition d'idempotence qui rend triviales les structures a un generateur. L'apparition et l'importance cruciale d'operations distributives en theorie des ensembles avec les iterations de plongements elementaires, ont montre que les operations distributives generales (non idempotentes) ont des proprietes etonnantes et mal connues. En particulier, certaines proprietes simples de ld-algebres finies sont pour le moment demontrees seulement grace a l'utilisation d'axiomes tres forts de la theorie des ensembles. Dans cette these on decrit plusieurs familles de ld-algebres finies monogenes et on etablit certaines de leurs proprietes. La situation est loin d'etre completement clarifiee, et la classification obtenue n'est pas exhaustive. On introduit en premier des resultats generaux sur les ld-algebres, dont certains sont dus a p. Dehornoy et t. Kepka, ainsi que les outils qui seront necessaires pour la suite de l'expose. Dans les chapitres suivants, on introduit deux familles assez simples de ld-algebres que l'on caracterise facilement et on etudie certaines de leurs proprietes. On introduit alors une troisieme famille de ld-algebres: les ld-algebres gauches, ainsi que des proprietes generales de cette famille. Ensuite on etudie les ld-algebres introduites par r. Laver, qui sont une sous-famille des ld-algebres gauches. Leur caracterisation algebrique est due a a. Drapal et f. Wehrung. Le dernier chapitre decrit une sous-famille des ld-algebres gauches, les ld-algebres normales en termes de ld-algebres de laver. En conclusion, le fait que toutes les ld-algebres gauches rencontrees a ce jour sont des ld-algebres normales, nous amene a conjecturer que toute ld-algebre gauche est normale


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