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Thèse soutenue

Étude de quelques propriétés d'équations d'ondes non linéaires dispersives de type Schrödinger

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Auteur / Autrice : Anne de Bouard
Direction : Jean-Claude Saut
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Physique
Date : Soutenance en 1992
Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

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Cette these est constituee de trois parties portant chacune sur l'etude de certaines proprietes d'equations d'ondes non lineaire dispersives de type schrodinger intervenant dans differents domaines de la physique. Dans la premiere partie, on etudie le probleme de cauchy associe a une equation de schrodinger non lineaire en presence d'un champ magnetique externe. Sous certaines restrictions de croissance sur les potentiels apparaissant dans l'equation et sur le terme non lineaire, on montre l'existence locale en temps et l'unicite des solutions du probleme de cauchy pour cette equation dans des espaces de type sobolev a poids, ainsi que la conservation de l'energie associee a l'equation. Dans la seconde partie, on etudie l'existence de solutions analytiques tres regulieres pour une equation de type schrodinger non lineaire assez generale, englobant un certain nombre de modeles physiques regissant le mouvement des ondes aquatiques de surface, dans lesquels le terme lineaire peut etre un operateur differentiel d'ordre superieur a deux, et faisant eventuellement intervenir un terme non lineaire non local. La troisieme partie est consacree a l'etude de l'existence et de l'instabilite de certaines solutions stationnaires localisees d'une equation de schrodinger non lineaire dans laquelle la non-linearite est relativement generale. Ces solutions generalisees ont la particularite d'avoir une limite non nulle lorsque la variable d'espace tend vers l'infini, et peuvent etre interpretees physiquement lorsque le terme non lineaire est bien choisi. On montre en linearisant l'equation que, lorsqu'elles existent, ces solutions generalisees sont toujours des solutions instables de l'equation d'evolution