Deux questions relatives à l'arithmétique des courbes elliptiques

Two questions relative to the arithmetic of elliptic curves

• Auteur / Autrice : Jean-Ioannis Papadopoulos
• Direction : Joseph Oesterle
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1992
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Corps locaux (algèbre)

Courbes modulaires

Modules galoisiens

Néron, Modèles de

Courbes elliptiques

Torsion, Théorie de la (algèbre)

Résumé

Ce travail est composé de deux parties indépendantes dans la première partie, on se donne une courbe elliptique e définie sur un corps local k de caractéristique 0 par une équation de Weierstrass. On calcule les valeurs possibles des valuations de c#4, c#6 et le discriminant pour chaque type de réduction possible. On traite en particulier les cas ou la caractéristique résiduelle de k est 2 ou 3. Notre théorème 1c) permet entre autres de résoudre une question posée récemment par J. Silverman: Quel est le plus grand exposant du conducteur lorsque la caractéristique résiduelle est 2. Dans la deuxième partie, on répond à la question suivante posée par B. Mazur: fixons une courbe elliptique e sur les rationnels et regardons e#6 le groupe des points de 6-torsion de e comme un module galoisien muni d'une forme symplectique, l'accouplement de Weil. On considère les courbes elliptiques e sur les rationnels dont la 6-torsion est galoisiennement et symplectiquement isomorphe à celle de e. Existe-t-il un nombre fini de telles e ou une infinité? nous donnons une réponse complète à cette question