Contribution a l'etude des systemes differentiellement plats

par Philippe Martin

Thèse de doctorat en Sciences appliquées

Sous la direction de Jean Lévine.

Soutenue en 1992

à l'EMP .

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  • Résumé

    On introduit dans cette these le concept nouveau de platitude. Un systeme est differentiellement plat (ou plus simplement plat) si son comportement peut etre completement decrit par un ensemble de fonctions differentiellement independantes dependant des variables du systeme et de leurs derivees: toute trajectoire du systeme peut s'obtenir a partir de cet ensemble de fonctions sans integrer d'equations differentielles. La platitude se definit par l'intermediaire d'une relation d'equivalence. Deux systemes s et t sont equivalents s'il existe une correspondance bijective entre les trajectoires de s et celles de t. Par definition, un systeme est plat s'il est equivalent a un systeme sans dynamique, c'est-a-dire un ensemble de fonctions arbitraires. Le lien entre equivalence et bouclage est le suivant: si s et t sont deux systemes equivalents, on peut trouver un bouclage dynamique et un changement de coordonnees qui transforme s en t etendu par des integrateurs purs, et vice versa. En particulier, un systeme plat est linearisable par bouclage dynamique et changement de coordonnees. Le bouclage ainsi construit presente la caracteristique remarquable d'etre engendre par les variables du systeme et leurs derives, et est appele pour cette raison bouclage endogene. La propriete principale d'un bouclage endogene est d'etre reversible a des integrateurs purs pres. Ceci signifie que l'equivalence par bouclage endogene respecte beaucoup de proprietes importantes comme la commandabilite ou la linearisabilite. Determiner si un systeme donne est plat est un probleme ouvert. On donne ici deux criteres dans des cas particuliers. Cependant, on connait de nombreux exemples de systemes plats issus de problemes concrets. Du point de vue de l'ingenieur, les systemes plats sont interessants parce que faciles a commander. On presente une application detaillee a la conception d'un pilote automatique d'avion


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