Fermeture des fonctionnelles de diffusion et de l'élasticité linéaire pour la topologie de la Mosco-convergence

Closure of the set of diffusion functionals and that of elasticity functionals with respect to the Mosco-convergence

• Auteur / Autrice : Mohamed Camar-Eddine
• Direction : Pierre Seppecher
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2002
• Etablissement(s) : Toulon
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université du Sud Toulon-Var. UFR de Sciences et Techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Composites

Convergence (mathématiques)

Homogénéisation (équations différentielles)

Résumé

L'objectif de cette thèse est l'identification de toutes les limites possibles, vis-à-vis de la Mosco-convergence, des suites de fonctionnelles de diffusion ou de l'élasticité linéaire isotrope. Bien que chaque élément de ces suites soit une fonctionnelle fortement locale, il est bien connu que, sans hypothèse de majoration uniforme sur les coefficients de diffusion, dans le cas scalaire, ou d'élasticité dans le cas vectoriel, la limite peut contenir un terme non-local et un terme étrange. Dans le cas vectoriel, il peut même arriver que la fonctionnelle limite dépende du second gradient du déplacement. D'un point de vue mécanique, les propriétés effectives d'un matériau composite peuvent radicalement différer de celles de ces différents constituants. Umberto Mosco a montré que toute limite d'une suite de fonctionnelles de diffusion est une forme de Dirichlet. La contribution des travaux présentés dans la première partie de cette thèse apporte une réponse positive au problème inverse. Nous montrons que toute forme de Dirichlet est limite d'une suite de fonctionnelles de diffusion. Une étape cruciale consiste en la construction explicite d'un matériau composite dont les propriétés effectives contiennent une interaction non-locale élémentaire. Puis, on obtient progressivement des interactions plus complexes, pour finalement atteindre toutes les formes de Dirichlet. La deuxième partie de nos travaux traite du cas vectoriel. On y démontre que la fermeture des fonctionnelles de l'élasticité linéaire isotrope est l'ensemble de toutes les formes quadratiques positives, objectives et semi-continues inférieurement. La preuve de ce résultat qui est loin d'être une simple généralisation du cas scalaire s'appuie, au départ, sur un résultat comparable au cas scalaire. Elle nécessite ensuite une approche complétement différente.

The purpose of this thesis is to characterize all possible Mosco-limits of sequences of diffusion functionals or isotropic elasticity ones. It is a well-known fact that, when the diffusion coefficients in the scalar case, or the elasticity coefficients in the vectorial one, are not uniformly bounded, non local terms and killing terms can appear in the limit functional, despite the strong local nature of any element of those sequences. In the vectorial case, the limit functional can even involve some second derivative of the displacement. From a mechanical point of view, the effective properties of a composite material can differ fundamentally from those of its components. Umberto Mosco has shown that any limit of a sequence of diffusion functionals has to be a Dirichlet form. The contribution of the first part of this work provides a positive answer to the inverse problem. We show that any Dirichlet form is the Mosco-limit of some sequence of diffusion functionals. In a crucial step, we exhibit an explicit composite diffusive material, the effective properties of which contain an elementary non-local interaction. Then, using a step by step approach, we reach at each step a more general non-local interaction until obtaining all the Dirichlet forms. The second part of this work deals with the vectorial case. We show that the Mosco-closure of the set of isotropic elasticity functionals coincides with the set of all non-negative lower semi-continuous quadratic functionals which are objective. The proof of this result, which is far from being a simple generalisation of the scalar case, is based, at the start, on a result which is comparable to the scalar case. Then a fundamentally different approach is necessary.