Une application de la transformée en ondelettes continue à la mécanique quantique et analyse multi-résolution adaptative

par Frédérique Plantevin

Thèse de doctorat en Physique mathématique. Physique des particules et modélisation

Sous la direction de ALEX GROSSMANN.

Soutenue en 1992

à Aix-Marseille 1 .


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  • Résumé

    La premiere partie de la these est consacree a une formulation de la mecanique quantique en dimension n via une version multi-dimensionnelle appropriee de la transformee en ondelettes. Apres l'avoir definie, nous ecrivons et etudions les operateurs de base de la mecanique quantique dans cette representation. La famille d'ondelettes (en dimension un) que nous proposons ensuite, mene a une forme explicite de la matrice de l'operateur d'evolution libre dont l'etude a temps fini est l'objet du dernier chapitre. L'etude des proprietes, notamment de localisation, de la matrice permet de retrouver celles de l'operateur. Enfin, nous construisons un couple admissible d'ondelettes adapte a l'operateur, c'est-a-dire, tel que le probleme d'evolution se ramene a la solution d'un systeme d'equations differentielles ordinaires de petite dimension. Dans la deuxieme partie, nous construisons une base d'ondelettes associees a une famille de grilles irregulieres. Contrairement au cas regulier, les espaces d'approximation formant l'analyse multi-resolution pour de telles grilles, sont associes a toute une gamme d'echelles. Nous montrons que, modulo une condition sur la geometrie de la grille, les supplementaires orthogonaux aux espaces d'approximation peuvent etre construits a la main et presentent le comportement homogene que l'on souhaitait obtenir. Nous proposons ensuite un algorithme rapide d'analyse et de synthese sur grille irreguliere utilisant une deuxieme base d'ondelettes construite a cet effet. La stabilite de l'algorithme de synthese est prouvee tandis que celle de l'algorithme d'analyse reste un probleme ouvert

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