Methodes interieures en programmation lineaire : elaboration et mise en oeuvre de procedures de projection exacte et approchee

par DOMINIQUE TACHAT MOUCHON

Thèse de doctorat en Sciences de gestion

Sous la direction de Pierre Tolla.

Soutenue en 1991

à Paris 9 .

    mots clés mots clés


  • Résumé

    Nous avons, au cours de cette these, travaille a l'amelioration des performances de l'algorithme de karmarkar et avons elabore et mis en oeuvre des procedures de projection exacte et approchee pour la resolution de probleme de multiflot compatible de cout minimum. Un travail de synthese des methodes existantes a ete, par ailleurs, realise. La convergence theorique de l'algorithme n'etant assuree que lorsque le programme lineaire verifie l'hypothese de nullite de l'optimum, nous avons experimente differentes techniques elargissant le domaine d'application de cette methode. Nous avons ainsi defini une heuristique qui, associee a une strategie particuliere de choix de pas de deplacement, permet une bonne convergence de l'algorithme. Nous avons, par ailleurs, implemente la methode de todd et burrell. Pour reduire considerablement le temps d'execution de chaque iteration, nous avons defini deux projections approchees. La premiere est nee de la propriete d7acuite de l'angle entre le gradient de la fonction objectif et le vecteur projete. Pour la calculer, nous avons implemente deux methodes, l'une mettant en oeuvre des techniques evoluees d'exploitation de creux des matrices, l'autre associant un test d'arret optimal a l'algorithme du gradient conjugue. Les resultats obtenus ont ete tres encourageants en premiere phase. La deuxieme procedure utilise une methode vectorielle. Son experimentation a revele le caractere competitif de cette variante avec des logiciels derives de l'algorithme de karmarkar.


  • Résumé

    The thesis addresses the problem of the efficiency improvement of karmarkar's algorithm. Different methods of both exact and approximate projections for solving the multicommodity network flow problems have been proposed. Other already existing methods have also been analysed. Although the convergence analysis of the original algorithm has been established only in a zero optimum case, we propose several methods for more general case. Heuristical algorithm has been suggested that ensures fast convergence under the supplementary condition imposed on the step selection. Additionnally, the method of todd and burrell has been implemented. Two approximate projection methods have been proposed to reduce the average time per iteration. The first one has been based on the observation that the angle of the objective gradient and its projection must always be acute. It has been implemented in two ways : the one exploiting the problem sparsity and the other being a variant of conjugate gradient method with a specific termination condition. Numerical results especially for the first phase are encouraging. In the second method of approximate projection, the basis of the null space of the linear operator is represented explicitely. Computational results proved that the last method outperformed other implementations of the karmarkar's algorithm.

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