Sur la stabilite de l'homologie du groupe lineaire et de son algebre de lie

par FATIHA AKEF

Thèse de doctorat en Sciences et techniques communes

Sous la direction de JEAN-LOUIS CATNELINEAU.

Soutenue en 1991

à Nice .

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  • Résumé

    Etant donne un anneau a, l'inclusion du groupe lineaire gl#p(a) dans gl#p#+#1(a), induit, pour tout n0, un morphisme de groupes abeliens h#n(gl#p(a), z)h#n(gl#p#+#1(a)z). A. A. Suslin a montre que si f est un corps commutatif infini, ces homomorphismes sont des isomorphismes pour pn. De plus, il a prouve que cette borne est la meilleure possible en montrant que la premiere obstruction a la stabilite, c'est-a-dire le groupe abelien h#n(gl#n#+#1(f),z)/imh#n(gl#n(f), z), est isomorphe au groupe abelien de k-theorie de milnor de f qui, en general, n'est pas nul. A la suite de ces travaux, d. Guin a demontre que pour une large classe d'anneaux, les homomorphismes h#n(gl#p(a), z)h#n(gl#p#+#1(a), z) sont des isomorphismes pour pn, et il a lie la premiere obstruction a cette stabilite, h#n(gl#n#+#1(a), z)/imh#n(gl#n(a), z), a la k-theorie de milnor de l'anneau a. L'objet de cette these est d'etudier le probleme de la stabilite de l'homologie du groupe lineaire a coefficients dans l'action adjointe. Pour tout anneau a et tout a-bimodule b, les inclusions du groupe lineaire gl#p(a) dans gl#p#+#1(a) et de l'anneau des matrices m#p(b) dans m#p#+#1(b), induisent, pour tout n0, un morphisme de groupes abeliens h#n(gl#p(a), m#p(b))h#n(gl#p#+#1(a), m#p(b)). W. G. Dwyer a prouve que les groupes d'homologie h#n(gl#p(a), m#p(a)), n1, se stabilisent pour p assez grand. Nous montrons dans ce travail que pour une large classe d'anneaux, ces morphismes sont des isomorphismes pour pn+1. Le groupe abelien h#n(gl#n#+#1(a), m#n#+#1(b))/imh#n(gl#n(a), mn(b)), est alors la premiere obstruction a cette stabilite. Nous montrons que ce groupe est isomorphe aux formes differentielles de kahler absolues de a a coefficients dans b, c'est-a-dire b #a#a#n. Nous etudions ensuite, la stabilite de l'homologie de l'algebre de lie des matrices gl#p(a) a coefficients dans l'action adjointe, et


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  • Annexes : 13 REF

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