Problèmes d'isospectralité pour les nilvariétés

par Hubert Pesce

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de PIERRE BERARD.

Soutenue en 1991

à Grenoble 1 .

mots clés

Résumé

Le laplacien d'une variete riemannienne compacte a un spectre discret qui s'appelle le spectre de la variete. Un probleme classique est de savoir si deux varietes isospectrales sont isometriques. Depuis le celebre contre-exemple de milnor, on sait que la reponse a ce probleme est negative. Dans la premiere partie, on donne une borne explicite du nombre de tores plats isospectraux a un tore donne et non deux a deux isometriques, borne dependant de la geometrie du tore donne. On utilise des resultats sur les formes quadratiques. En 1984, c. Gordon et e. Wilson ont construit les premiers exemples de deformations isospectrales. Les varietes qu'ils considerent sont des nilvarietes. Le but des deux dernieres parties est de montrer que toutes les deformations isospectrales des nilvarietes de rang deux sont celles construites par c. Gordon et e. Wilson. Dans la deuxieme partie, on demontre le resultat voulu dans le cas ou la nilvariete est non singuliere, puis on demontre qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes d'isometrie de varietes de heisenberg isospectrales. Dans la troisieme partie, on calcule le spectre d'une nilvariete de rang deux en utilisant la theorie de kirillov et on caracterise les deformations isospectrales des nilvarietes de rang deux

Titre traduit

Isospectrality problems for nilmanifolds

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