Résolution des équations d'Euler compressibles par une méthode variationnelle en éléments finis : schémas aux différences décentrées pour la résolution des équations de Navier-Stokes incompressibles

par Charles-Henri Bruneau

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Roger Temam.

Soutenue en 1989

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des Sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Correcteur d'entropie
• Méthode Multigrille
• Navier-Stokes, Équations de
• Euler, Équations d'
• Fluides, Mécanique des
• Moindres carrés

Résumé

Ce travail est en deux parties qui concernent toutes deux la résolution numérique de problèmes issus de la mécanique des fluides : calcul d'écoulements compressibles en dimension deux et trois à partir du modèle d'Euler stationnaire et étude des solutions des équations de Navier-Stokes incompressibles en dimension deux. Les méthodes utilisées sont très différentes d'une application à l'autre. Dans le premier cas les solutions de différents problèmes sont obtenues par méthode de point fixe, linéarisation par la méthode de Newton, minimisation par moindres carrés et approximation par éléments finis conformes des groupes de variables conservatifs ; de plus un terme de décentrement artificiel ou un correcteur d'entropie avec adaptation de maillage est nécessaire pour capturer des solutions transsoniques ou hypersoniques. Dans le deuxième cas les équations sont approchées par un schéma aux différences finies décentrées contenant un terme d'anti diffusion, puis résolues par méthode multi grille avec procédure de relaxation maille à maille. Outre des méthodes numériques efficaces, une mise en œuvre importante incluant programmation structurée et vectorisation a été nécessaire pour atteindre de bonnes performances. L 'ensemble donne un assez large aperçu des méthodes utilisées et du savoir-faire acquis ces dernières années en analyse numérique.

Titre traduit

Resolution of compressible Euler equations through a variational method and a finite elements approximation : finite differences schemes for solving the incompressible Navier-Stockes equations

Résumé

This work is divided into two parts, which both concern the solution of problems in fluid dynamics : compressible Euler flows in two and three dimensions and incompressible Navier-Stokes fiows in two dimensions. The methods of solution are very different from one application to another. In the first case the solution of various problems is obtained by a fixed point algorithm, Newton linearization, a !east-squares minimization and a finite element approximation of the conservative variables ; more­over an artificial viscosity term or an entropy corrector with a mesh adaptation are required to get transonic or hypersonic solutions. In the second case a finite differences scheme with an antidiffusion term is used to approximate the Navier-Stokes operator and the solution is achieved by means of the multigrid method coupled to a cell by cell relaxation smoother. In addition to efficient methods, a structured programming including optimization and vectorization yields good performances in terms of CPU time. The work of this thesis gives an out look on a broad range of knowledge and techniques developed over the last few years in numerical analysis.