Surfaces aléatoires : approximation du temps local

Random fields : approximation of local time

• Auteur / Autrice : Corinne Berzin
• Direction : Didier Dacunha-Castelle
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1989
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variables aléatoires

Temps local (probabilités)

Mesures aléatoires

Processus stationnaires

Mots clés libres

Surfaces aléatoires gaussiennes

Régularisation des trajectoires

Approximation-L² du temps local

Mesures géométriques

Lois stables

Sommes de variables aléatoires indépendantes

Résumé

Soit { X(t,ω), t ∈ Rd, ω ∈ Ω }, d ≥2 un processus gaussien stationnaire, à valeurs réelles sur un espace de probabilité ( Ω, Around, P ). Nous étudions le comportement asymptotique d'une intégrale stochastique particulière, par rapport à la mesure géométrique de l'ensemble de niveau u, u ∈ R, du champ régularisé, obtenu par la composition d'une convoluée de X, soit Xɛ, et d'une normalisation matricielle contenant une partie de l'information de la matrice des moments spectraux d'ordre deux de Xɛ. Sous l'hypothèse que la fonction de covariance de X est deux fois continûment différentiable en dehors d'un ensemble de mesure de Lebesgue nulle dans Rd, cette intégrale converge dans L²(Ω ) vers le temps local de X, évalué en u. En outre, une majoration de la vitesse de convergence est proposée, à une constante près.

Let { X(t,ω), t ∈ Rd, ω ∈ Ω }, d ≥2, be a real stationary gaussian field, defined on a probability space ( Ω, Around, P ). We look at the asymptotic behavior of a particular stochastic integral, with respect to the geometric measure of the u-level sets, u ∈ R, of the regularized field, obtained by composition of a convolution of X, say Xɛ, with a matrix normalization which contains part of the information contained in the spectral moments matrix of second order of Xɛ. Under the condition that the covariance function is twice continuously differentiable out of a set of zero Lebesgue's measure, this functional converges in L² (Ω ) to the local time of X at the level u. Furthermore, we give a bound for the speed of convergence.