Stabilité du fibré tangent des surfaces algébriques

Stability of the tangent bundle of algebraic surfaces

• Auteur / Autrice : Rachid Fahlaoui
• Direction : Arnaud Beauville
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1989
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Surfaces algébriques

Espaces fibrés (mathématiques)

Stabilité

Résumé

Cette thèse a pour sujet la stabilité du fibré tangent des surfaces algébriques. On y étudie les deux notions de stabilité, à savoir, la stabilité au sens de Mumford-Takemoto et la T­stabilité (ou stabilité au sens de Bogomolov). Pour les surfaces à fibré canonique (resp anti-canonique) positif, l'existence d'une métrique de Kähler-Einstein implique la semi­stabilité du fibré tangent par rapport à la classe canonique (resp anti-canonique). Si K est positif, une telle métrique existe, ce qui implique la K-semi-stabilité du fibré tangent. Ceci nous conduit à étudier le cas des surfaces à fibré canonique négatif. Nous donnons une démonstration algébrique valable en caractéristique quelconque, de la semi-stabilité du fibré tangent par rapport à la classe anti-canonique. Nous généralisons ce résultat aux surfaces à fibré canonique numériquement négatif vérifiant : si le rang du groupe de Picard de S est 9, alors le système linéaire anti­canonique est à modules variables. Puis nous passons à l'étude de la T-stabilité en distinguant trois cas : les surfaces elliptiques, les surfaces à première classe de Chern nulle et les surfaces géométriquement réglées. On caractérise celles dont le fibré tangent est T-semi-stable et dans les deux derniers cas celles dont le fibré tangent est T-stable.

This thesis is concerned with the stability of the tangent bundle of algebraic surfaces. We consider two notions of stability: stability in the sense of Mumford-Takemoto and T-stability (Bogomolov stability). For surfaces with positive canonical (resp. Anti-canonical) bundle, the existence of a Kähler-Einstein metric implies the semi-stability of the tangent bundle with respect to the canonical (resp. Anti-canonical) class. If K is positive, such a metric exists, which implies K-semi-stability. This leads us to study the case of surfaces with negative canonical bundle. We give an algebraic proof, valid in any characteristic, of the semi-stability of the tangent bundle with respect to the canonical class. We generalize this result to surfaces with numerically negative canonical bundle satisfying: if the rank of the Picard group is nine, the anti-canonical linear system contains a singular semi-stable curve. Then we turn to T-stability, distinguishing three cases: elliptic surfaces, surfaces with vanishing first Chern class and geometrically ruled surfaces. We characterize the ones for which the tangent bundle is T-semi-stable and, in the last two cases, the ones for which the tangent bundle is T-stable.