Étude du problème inverse linéarisé dans l'équation des ondes acoustiques à deux dimensionsÉtude mathématique d'un problème inverse de l'équation des ondes à une dimension dans un cas particulier

Study of the linearized inverse problem in the 2-d acoustic wave equation for the surface observation

• Auteur / Autrice : Bei-Feng Jiang-Levesque
• Direction : Roger Temam
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1989
• Etablissement(s) : Paris 11

Mots clés

Mots clés contrôlés

Méthode sismique-réflexion

Équations d'onde

Méthode sismique-réflexion -- Informatique

Mots clés libres

Prospection

Piège stratigraphique

Onde acoustique

Simulation numérique

Inversion linéaire

Résumé

L'un des intérêts que présentent les méthodes d'inversion des sismogrammes pour l'exploration pétrolière est de permettre potentiellement une évaluation quantitative de paramètres distribués (vitesse de propagation, impédance acoustique, etc. . . ) caractérisant le sous-sol. Ces méthodes sont donc particulièrement attrayantes pour la détection de pièges stratigraphiques qui sont reconnaissables par une variation latérale de ces paramètres. De plus ces méthodes constituent une amélioration à priori substantielle des classiques migrations avant stack qui se proposent uniquement d'imager les hétérogénéités. Parmi les méthodes d'inversion, l'inversion linéarisée suscite un grand intérêt en raison des simplifications qu'elle permet sur les calculs informatiques. L'inconvénient de cette approche provient de la difficulté de trouver un milieu dit de référence suffisamment proche du milieu réel inconnu pour justifier la linéarisation. Nous étudions dans la première partie de cette thèse, le problème direct linéarisé et tentons de répondre aux questions suivantes: Dans quel sens le milieu de référence doit-il être proche du milieu réel pour que la linéarisation soit justifiée ? Quels sont les paramètres par rapport auxquels une linéarisation est tolérante vis à vis des défauts du milieu de référence ? Dans une deuxième partie nous étudions numériquement le problème inverse linéarisé à 2-D et regardons comment se répercutent sur la solution du problème inverse les erreurs provenant de la linéarisation. Les expériences numériques montrent l'efficacité de l'inversion linéarisée. Plus précisément, elle donne une identification quantitative des hétérogénéités aussi bonne que celle donnée par l'inversion non linéaire lorsque le milieu de référence approxime précisément la vitesse du milieu réel. Lorsque l'erreur sur la vitesse est grande, l'identification quantitative des hétérogénéités n'est plus possible, néanmoins l'inversion linéarisée donne encore une meilleure image que celle donnée par la migration avant stack.

One of the advantages of seismic inversion methods for petroleum exploration is the potential quantitative evaluation of the distributed parameters (propagation velocity, acoustic impedance) characterizing subsurface formations. Such methods are particularly attractive for detecting stratigraphic traps, which can be recognized by a lateral variation in these parameters. In this way, such methods yield a substantial improvement in conventional prestack migrations which only provide images of heterogeneities. Among inversion methods, linearized inversion is arousing great interest because of the simplifications it brings to computing. The disadvantage of this approach stems from the difficulty in finding of a so-called reference medium that is sufficiently close to the actual unknown medium to justify the linearization. The first chapter of this work aims at a better understanding of the linearized forward problem and attempts to answer the following question: In what way must the reference medium be close to the exact medium for the linearization to be justified? Which of the parameters for the linearization are tolerant with regard to defects in the reference medium? The second chapter of the work examines numerically the 2-D linearized inverse problem and analyses how errors resulting from the linearization can influence the solution of the problem. Numerical experiments show the effectiveness of the linearized inversion; more specifically it allows a quantitative identification of the heterogeneities, as well as nonlinear inversion, when the reference medium approximates accurately the velocity of the actual medium. With a cruder reference medium the quantitative identification of the heterogeneities is no more possible, but the linearized inversion yields a better imaging as compared to prestack migration.