Contribution a la geometrie differentielle

par ALBERT POLOMBO

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Jean-Pierre Bourguignon.

Soutenue en 1989

à Paris 7 .

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  • Résumé

    Cette these comprend trois parties numerotees i, ii, iii. Son objet est la geometrie riemannienne et, plus precisement, les interactions entre la courbure riemannienne et la topologie. Elle s'articule autour du concept d'algebre de courbure, qui en assure l'unite. Dans la premiere partie on etablit, en dimension 4 et sous des hypotheses de pincement de la courbure, des inegalites entre la signature et la caracteristique d'euler. Ces resultats generalisent l'inegalite entre la caracteristique d'euler et la signature obtenue par j. A. Thorpe et n. Hitchin pour les varietes d'einstein compactes orientees de dimension 4. Dans la seconde partie, on construit des exemples algebriques de tenseurs de courbure montrant les limitations des methodes utilisees en dimension 4. De ces exemples, construits en dimension 6 ou 8, on deduit qu'aucune generalisation naturelle des inegalites etablies en dimension 4 peut etre obtenue par l'approche algebrique. La troisieme partie de ce travail traite des formules de weitzenbock. Ce concept, qui a fait l'objet de nombreux travaux, est ici developpe a propos des sections de fibres que l'on peut interpreter comme endomorphismes. Pour ce faire, on introduit le cadre general des fibres de dirac au-dessus d'une variete riemannienne dont on sait qu'ils prennent une place de plus en plus importante dans de nombreux domaines des mathematiques. Par opposition aux deux parties precedentes, ou les calculs etaient completement algebriques, donc effectues en un point de la variete m, il est fait usage dans la troisieme partie du calcul differentiel sur m. La premiere identite de bianchi, qui jouait un role fondamental cede la place a la seconde identie de bianchi. Concernant les formules de weitzenbock, la nouveaute tient aussi dans la consideration des quantites non-tensorielles que sont les valeurs propres, pour lesquelles on obtient une expression du laplacien lorsque l'endomo

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  • Annexes : Bibliogr., 48 réf. et en fin d'article

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  • Bibliothèque : Université Paris Diderot - Paris 7. Service commun de la documentation. Bibliothèque Universitaire des Grands Moulins.
  • Accessible pour le PEB
  • Cote : TS1989
  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : THESE 04821
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