Attracteurs et variétés inertielles pour des équations dissipatives de la physique mathématiqueChamps markoviens et analyse d'images

Markov fields and image analysis

• Auteur / Autrice : Martine Marion
• Direction : Roger Temam
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1988
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Robert Azencott, George R. Sell, John Mallet-Paret, Jean Mathieu, Jean-Claude Saut

Mots clés

Mots clés contrôlés

Galerkine, Méthodes de

Attracteurs (mathématiques)

Mots clés libres

Équation de Cahn-Hilliard

Variétés inertielles

Systèmes de réaction-diffusion

Inégalités de Lieb-Thirring

Résumé

Les travaux présentés dans cette thèse sont relatifs au comportement asymptotique (quand t →∞ ) d'équations aux dérivées partielles dissipatives et s'articulent essentiellement autour de deux thèmes : attracteurs et variétés inertielles. Dans la première partie, nous étudions les attracteurs associés à une classe assez générale de systèmes de réaction-diffusion (comprenant des systèmes possédant une région invariante). Nous considérons successivement le cas dissipatif et le cas partiellement dissipatif- plus complexe- où certains coefficients de diffusion sont nuls. Nous montrons l'existence d'attracteurs universels de dimension fractale finie et nous obtenons des estimations de cette dimension. Notre étude repose notamment sur des généralisations d'une classe d'inégalités fonctionnelles collectives dues à Lieb et Thirring, qui sont présentées en fin de partie. La deuxième partie est consacrée aux variétés inertielles et à leur approximation. L'existence de variétés inertielles pour des systèmes de réaction-diffusion partiellement dissipatifs est établie. Nous étudions ensuite des questions liées aux variétés inertielles approximatives. Pour des équations de réaction-diffusion, nous construisons plusieurs variétés inertielles approximatives ; en particulier, ces variétés existent en grandes dimensions d'espace, par opposition aux variétés inertielles "exactes". Une méthode de construction de variétés successives approximant de mieux en mieux les orbites est ensuite présentée dans le cas de l'équation de Cahn-Hilliard. Enfin, nous étudions des schémas numériques nouveaux permettant l'intégration sur un long intervalle de temps des équations aux dérivées partielles et qui découlent du concept de variété inertielle approximative. Les travaux de la troisième partie portent sur des problèmes issus de la théorie de la combustion. Nous nous intéressons aux propriétés qualitatives d'un modèle monodimensionnel stationnaire de flamme laminaire. Nous étudions aussi les attracteurs associés à un modèle bidimensionnel en fluide incompressible.

The works presented in this thesis concern the asymptotic behaviour (as t →∞ ) of dissipative partial differential equations and are mainly dealing with two topics: attractors and inertial manifolds. In the first part, we study the attractors associated with a rather general class of reaction­ diffusion systems (including systems with an invariant region). We consider both the dissipative case and the partly dissipative case- more complex - where some diffusion coefficients are equal to zero. We prove the existence of universal attractors with finite fractal dimension and we derive estimates of this dimension. Our work relies in particular on generalizations of a class of collective functional inequalities due to Lieb and Thirring which are presented at the end of part one. The second part is devoted to inertial manifolds and their approximation. The existence of inertial manifolds for partly dissipative reaction-diffusion systems is established. We then address several questions related to approximate inertial manifolds. For reaction-diffusion equations, we show that such manifolds exist in high space dimension - as opposed to "exact" inertial manifolds. Then a method for constructing manifolds providing better and better order approximations to the solutions is presented in the case of the Cahn-Hilliard equation. Lastly, we propose numerical schemes well adapted to the long term integration of partial differential equations and stemming from the study of approximate inertial manifolds. The third part deals with problems borrowed from the theory of combustion. We study the qualitative properties of a one-dimensional stationary model for laminar flames. We also investigate the attractors associated with a two-dimensional model in incompressible fluid.