Sur les propriétés topologiques et métriques des espaces stratifiés

par Karim Bekka

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de David Trotman.

Soutenue en 1988

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des Sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

mots clés

• Espaces stratifiés
• Condition de Thom
• Structure de Thom-Mather
• Diamètre géodésique
• Stratifications

Résumé

Dans ce travail, on introduit une condition d'équi-singularité, qu'on appelle condition de Whitney faiblement régulière (W. F. ), définie par une fonction de contrôle qui est une application de Thom. On montre qu'un espace (W. F. ) admet une structure de Thom-Mather. On montre aussi que les espaces (W. F. ) sont stables par coupes transverses et vérifient la condition (a) de Whitney. Dans un second temps, on définit, pour étudier certaines propriétés métriques, une condition de régularité plus faible que la condition (b) de Whitney, qu'on appelle : condition (δ). On montre alors que les espaces (a)+( δ) réguliers -- sont des espaces (W. F. ); -- sont stables par coupes transverses ; -- que, dans certains cas, ils ont un volume localement fini; -- qu'ils ont un diamètre géodésique fini; -- que la métrique des longueurs donne la topologie initiale.

Titre traduit

Topological and metric properties of regular stratified spaces

Résumé

In this work, we introduce a condition of equi-singularity, that we call the weak Whitney regular condition (W. F. ) (defined by a control function which is a Thom mapping). We show that a (W. F. ) space admits a Thom-Mather structure. We also show that they are (a) regular, and stable by transversal intersections. Secondly, we define, to study some metric properties, a condition of regularity weaker than Whitney's condition (b) that we call: condition (δ). We then show that the (a) + (δ) regular spaces: -- are (W. F. ) spaces -- are stable by transversal intersections -- have a locally finite volume when the (n-2)-skeleton is empty -- have a finite geodesic diameter -- have a length metric giving the initial topology.