Analyse harmonique sur l'espace des chemins d'un arbre

par Guido Ahumada Bustamante

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pierre Cartier.

Soutenue en 1988

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des Sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .


  • Résumé

    Ce travail est consacré à divers problemes d'analyse harmonique sur les arbres homogènes. Nous étudions la représentation naturelle du groupe d'automorphismes d'un arbre X attachée à l'espace des géodésiques de longueur n sur X. Par une méthode géométrique, on obtient explicitement la décomposition de cette représentation en composantes isotypiques. Par suite, nous étudions l'espace L des géodésiques doublement infinies sur l'arbre X. Nous y établissons la formule de Plancherel en utilisant la transformation de Radon. Cette dernière est définie à partir de la dualité naturelle entre géodésiques de longueur finie et géodésiques doublement infinies. Par ailleurs, on introduit l'analogue de la transformation d'Abel sur le demi-plan de Poincaré dans le cadre des arbres. Cette transformation est liée, d'une part à un changement de variable dans l'algèbre des polynômes, et d'une autre, à l'opération géometrique de rabatement d'un arbre sur une de ces branches principales. Elle permet d'étudier commodément les fonctions sphériques sur l'ensemble des sommets de X. Aussi, elle permet d'établir une formule de traces sur les arbres (analogue a la formule de traces de Selberg sur le plan hyperbolique). On en déduit le prolongement analytique et la localisation des pôles de la fonction zêta d'un graphe homogène fini.

  • Titre traduit

    Harmonic analysis on the space of paths of a tree


  • Résumé

    This work is devoted to various problems of harmonic analysis on homogeneous trees. We study the natural representation of the automorphism group of an homogeneous tree X attached to the space of geodesics of length n on X. A geometrical method gives explicitly a decomposition of this representation into isotypical components. We then study the space L of doubly-infinite geodesics on the tree X. We prove Plancherel's formula by using the Radon transformation. The latter is defined by means of the natural duality between geodesics of finite length and doubly infinite geodesics. Furthermore, we introduce the analogue for the case of trees of the Abel transformation on the Poincaré upper half-plane. This transformation is related on the one hand to a change of variables in a polynomial algebra and on the other hand to the geometric operation of retraction of a tree onto one of its principal branches. Lt is useful for the study of spherical functions on the set of vertices of a tree. Lt is also used to prove a trace formula for trees (analogous to the Solberg trace formule on the hyperbolic plane). This trace formula is used to determine the analytic continuation and the poles of the Zeta function of a finite homogenous graph.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (133 p.)

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  • Bibliothèque : Université Paris-Sud (Orsay, Essonne). Service Commun de la Documentation. Section Sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 0g ORSAY(1988)248
  • Bibliothèque : Bibliothèque Mathématique Jacques Hadamard (Orsay, Essonne).
  • Disponible sous forme de reproduction pour le PEB
  • Cote : AHUM
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