Matrices de Toeplitz dans le cas d-dimensionnel : développement asymptotique à l'ordre d.Extension de fonctions de type positif dans le cas d-dimensionnel et maximum d'entropie : application à la reconstruction de densités

par Abdellatif Seghier

Thèse de doctorat en Sciences mathématique

Sous la direction de Didier Dacunha-Castelle.

Soutenue en 1988

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .


  • Résumé

    Les deux premiers articles traitent de la prédiction d'un processus stationnaire du 2°ordre. La prédiction s'effectue relativement à une information provenant d'une partie du passé. L'aspect le plus important de ce travail est l'introduction d'opérateurs (de Tœplitz et de Hankel) qui permettent d'appliquer des techniques de géométrie hilbertienne. II. Les trois articles qui suivent reprennent un problème de Szëgo lié à la prédiction linéaire de processus dépendant d'un paramètre discret. Nous considérons le problème dans le cas d-dimensionnel. Nous donnons un développement asymptotique de la trace de l'inverse de matrice de Tœplitz correspondante jusqu'à l'ordre d. Les cœfficients du développement dépendent alors du symbole (densité spectrale) et de mesures positives à support, selon l'ordre, le domaine de troncature de l'opérateur de Tœplitz (volume, les faces d'ordre d-1 (arêtes) et les sommets. III. Les deux derniers articles sont consacrés à la reconstruction de densités de probabilité et de densités spectrales à l'aide d'extension de fonction de type positif et du principe du maximum d'entropie. Ce problème provient de la cristallographie dont l'un des objectifs est la reconstruction de la densité électronique de molécules. Nous montrons dans le cas d'informations partielles (nombre fini de coefficients de Fourier) et de phases connues que cas multidimensionnel la reconstruction est possible dans le (implantable dans les ordinateurs).

  • Titre traduit

    Toeplitz matrices : asymptotic expansion and applications


  • Résumé

    In the two first chapters we are concerned with the prediction of the second order stationnary process. Here the information depends on a part of past. The main aspect of these papers is the use of hilbertian technics based on Tœplitz and Hankel operators. In the following three papers, we deal with an old Szegö's problem on the expansion of the determinant of Tœplitz matrix. We give in the multidimensionnal case a more precise expansion of the trace of the inverse with order d). Moreover the knew cœfficients which appear are strongly related with geometrical invariants of the domain on which the the Tœplitz operators are truncated. In the last two papers knew results about reconstruction of the spectral densities in the multidimentional case are given. The methods are based on extensions of positive defined function and maximum entropy principle. This work is motivated by the problem of the determination of the phases of the electron density function in crystal analysis. Nevertheless, there is still a great amount of work to be done in order to solve this problem.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (205 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. p. 11 et 205

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