Problème hyperbolique non linéaire perturbé par un terme de convolution : méthodes pseudo-spectrales et capture de choc pour des équations hyperboliques

Non linear hyperbolic problems outurbed by a convolution term pseudo spectral methods and shock capturing for hyperbolic equations

• Auteur / Autrice : Alain Dimier
• Direction : Michelle Schatzman
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences. Analyse numérique, modèles mathématiques et calcul scientifique
• Date : Soutenance en 1988
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michelle Schatzman

Mots clés

Mots clés contrôlés

Choc (mécanique)

Théorie spectrale (mathématiques)

Équations aux dérivées partielles

Convolutions (mathématiques)

Théories non linéaires

Résumé

Dans la premiere partie on considere une equation quasi-lineaire du 1er ordre comportant un terme de convolution wxh(u) et associee a une condition initiale uo(x). Le noyau de convolution w est de classe g et integrable h est localement lipschitzienne. On etablit l'existence globale ou locale des solutions faibles par une methode de viscosite, ainsi que l'unicite de la solution entropique. On presente des resultats numeriques obtenus a partir du schema d'ordre i d'engquiest-osher. L'utilisation dans le contexte precedent d'une t. F. R. Conduit a etudier les problemes hyperboliques dans le cadre des methodes spectrales. On expose une methode numerique permettant d'approcher une solution v(x,t) possedant des discontinuites de permiere espece. Cette solution est construite a partir de la decomposition sous la forme d'une partie reguliere r(x,t) plus une fonction c(x,t) traduisant les differentes discontinuites qu'elle comporte. On peut choisir divers degres de regularite. On reecrit l'equation dont u est solution sous la forme d'un systeme couple portant sur r et c. La fonction a satisfait essentiellement l'equation initiale, modulo des termes de couplage isus de c. Cette etude est tout d'abord realisees pour des equations hyperboliques scalaires lineaires a une et deux dimensions d'espace. Une etude similaire est presentee pour des problemes hyperboliques non lineaires. Comme la solution peut developper au cours du temps des discontinuites on utilise des techniques de capture de chocs, afin d'analyser leur amplitude et leur position. L'etude numerique est realisee pour l'equation burgers a une dimension d'espace