Topologie de Gromov équivariante, structures hyperboliques et arbres réels

Equivalent gromov topology, hyperbolic structures and real trees

• Auteur / Autrice : Frédéric Paulin
• Direction : François Laudenbach
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1987
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)
• Jury : Président / Présidente : Laurent Carl Siebenmann
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Joan S. Birman, Laurent Carl Siebenmann, Mikhail Gromov, Francis Bonahon, François Laudenbach

Mots clés

Mots clés contrôlés

Groupes hyperboliques

Actions de groupes (mathématiques)

Mots clés libres

Distance de Hausdorff

Structures hyperboliques

Arbres réels

Résumé

Les objets que nous étudions sont les actions isométriques d'un groupe de type fini fixé sur les espaces métriques. Notre but est d'étudier la dégénérescence des structures hyperboliques vers des arbres réels par des moyens purement topologiques. Nous munissons d'une topologie naturelle, dite topologie de Gromov, tous ensemble formé de telles actions. Elle est construite à partir de la distance de Hausdorff entre espaces métriques, et la topologie compacte-ouverte pour les actions sur un même espace métrique. Nous donnons un procédé canonique pour rendre séparée une topologie de Gromov. Par des méthodes inspirées des travaux de M. Gromov, nous montrons un critère de compacité séquentielle pour une topologie de Gromov. Nous montrons que la topologie de Gromov coïncide avec les topologies usuelles sur l'espace des actions hyperboliques et sur l'espace des actions sur les arbres réels minimaux irréductibles. Nous utilisons notre critère de compacité pour donner une preuve plus courte et plus géométrique de deux théorèmes : celui de M. Culler et J. Morgan, sur la compacité de l'espace des arbres réels à petits stabilisateurs d'arêtes ; et celui de W. Thurston, P. Shalen et J. Morgan sur la compactification de l'espace des structures hyperboliques par des arbres réels à petits stabilisateurs d'arêtes.