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Thèse soutenue

Quelques problèmes de vitesse de convergence pour des processus empiriques

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Auteur / Autrice : Pascal Massart
Direction : Jean L. Bretagnolle
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance en 1987
Etablissement(s) : Paris 11
Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)
Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean L. Bretagnolle, Patrice Assouad, Alain Grigis, Lucien Birgé, Didier Dacunha-Castelle, Paul Deheuvels

Résumé

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Le théorème de Donsker assure que le pont brownien empirique associé à nos observations à valeurs réelles, indépendantes et de même loi, converge uniformément sur la classe des intervalles, vers un pont brownien. Le théorème Hongrois (1975) précise que cette convergence a lieu exactement à la vitesse Log(n)n-1/2, en termes d'approximations fortes. Dans la voie ouverte par R. M. Dudley (1978), nous évaluons les vitesses de convergence lorsque la classe des intervalles est rem­ placée par une classe de fonctions définies sur un espace mesurable, satisfaisant à une condition d'entropie métrique convenable (noter que la plupart des résultats sont préservés lorsque les observations vérifient une condition de dépendance faible de type mélange). Par ailleurs, nous démontrons que l’ordre de grandeur presque sur de la distance de Prohorov entre la distribution uniforme sur un cube de Rd, d≥2, et sa loi empirique vaut à une puissance de Log(n) près (ce problème était ouvert depuis 1968). Nous développons à cette occasion une ''méthode d'approximation qui permet de démontrer un analogue du théorème Hongrois en dimension d, pour des classes de parties convenables (typiquement, pour la classe des boules euclidiennes ou des demi-espaces, la vitesse obtenue est, à une puissance de Log(n) près, n-1/2d dont un travail récent de J. Beek (1985)+ montre qu'elle est la meilleure possible)