Calibre d'un corps arithmetique : unites

par ROGER PAYSANT-LE-ROUX

Thèse de doctorat en Sciences. Mathématiques

Sous la direction de Yves Hellegouarch.

Soutenue en 1987

à Caen .

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  • Résumé

    Ce travail a son origine dans un article de a. Schinzel intitule : "on some problems of the arithmetical theory of continued fractions". La consideration de l'equation de pell generalisee : n::(e/k)(phi ) = cte ou e/k designe une extension finie d'un corps de fractions rationnelles nous conduit a definie les notions de comma, point extremal et face. Ces notions, qui etendent en un certain sens la notion de fraction continue (pour un corps quadratique) a une extension finie quelconque e/k, peuvent etre deja reconnues, sous des deguisements divers, dans les travaux de nombreux mathematiciens (minkowski, voronoi, delone et fadeev, e. Dubois, appelgate et onishi, buchmann). Leur domaine d'application est un "coprs arithmetique" c'est-a-dire un corps de nombre algebrique ou un corps de fonctions algebriques dans lequel un anneau de polynome particulier k(x) est donne. Mais ces objets sont introduits en vue d'applications ulterieures. Une de celles-ci est la generalisation de la notion de calibre d'un corps quadratique (introduite par g. Lachaud) a un corps de nombres algebriques quelconque et la generalisation d'un theoreme de lachaud. Une autre est l'obtension d'unites (resp. De x-unites) de e et, en sous-produit, celle d'elements de torsion de la jacobienne de e. Le cas d'une extension binome k(x,y)/k(x) avec : y**(p) = x**(pn) + a,x**(pn-1) +. . . + a::(pn) est etudie en detail et le cas particulier p=3, n=1, k=q est completement resolu. En specialisant les x-unites, on obtient des informations sur les unites numeriques dans ce cas. De meme, la conjecture de schinzel sur la periode de sp d(n) est generalisee. Un autre point est l'etude des unites d'un ordre quelconque d'un corps arithmetique sous l'hypothese que l'on connait celles de l'ordre maximal. Ici encore l'inspiration vient de l'article ci-dessus mentionne de schinzel. Deux autres points sont abordes : l'un concerne la methode de reduction continuelle de hermite et l'autre moins etroitement relie au theme principal, est une propriete de periodicite de l'algorithme de jacobi-perron

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Informations

  • Détails : 1 vol. (202 p.)
  • Annexes : Bibliogr. 60 réf.

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  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie . Section Mathématiques-Informatique Recherche.
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  • Cote : THESE 07180
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