Homologies non-singulières d'une variété et homologie sectionnelle d'une submersion

Non singular homologies of a manifold and sectional homology of a submersion

• Auteur / Autrice : François Lalonde
• Direction : Weishu Shih
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences mathématiques
• Date : Soutenance en 1985
• Etablissement(s) : Paris 11
• Partenaire(s) de recherche : Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne)
• Jury : Président / Présidente : René Thom
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Weishu Shih, René Thom, John N. Mather, Jean-Pierre Bourguignon, Jean Cerf, François Laudenbach
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : John N. Mather

Mots clés

Mots clés contrôlés

Feuilletages (mathématiques)

Fibrations (mathématiques)

Simplexes (mathématiques)

Mots clés libres

Champ transverse

Résumé

Ce travail est constitué de deux parties, dont la première, portant sur l’homologie des simplexes plongés d’une variété lisse, est un cas particulier et un préalable à la seconde, portant sur l’homologie sectionnelle d’une submersion. Etant donnée une variété Vⁿ de classe C∞, l’homologie de plongements k-fois différentiables de V est l’homologie du complexe des chaînes finies de simplexes k-fois différentiables plongés à coefficients entiers (1 ≤ k ≤ ∞). On montre que cette homologie est isomorphe à l’homologie singulière de V en toutes dimensions, sauf la dimension n de la variété. L’une des difficultés pour obtenir ce résultat est d’établir l’invariance par subdivision de l »homologie de plongements dont la démonstration conduit naturellement à définir les homologies de p-champs transverses de V pour tout p ≥ 1. On montre, après avoir établi la suite exacte des complexes de champs transverses, que ces homologies sont également isomorphes à l’homologie singulière de V dès que les dimensions le permettent. Pour une application différentiable de Classe Ck, f : X₂→X₁ où X₁ et X₂ sont des vériétés lisses et 1 ≤ k ≤ ∞, l’homologie sectionnelle k-fois différentiable de f (homologie de Shih) est l’homologie du complexe des chaînes finies de simplexes sectionnels k-fois différentiables à coefficients entiers, un simplexe sectionnel k-fois différentiables étant une section locale de classe Ck de f au-dessus d’un simplexe k-fois différentiable plongé. On montre dans la seconde partie de ce travail, que si f est une submersion, cette homologie est canoniquement isomorphe à l’homologie singulière de X₂ en toutes dimensions inférieures à la dimension de X₁. En particulier, pour un feuilletage régulier (V,F) d’une variété lisse V, les q-chaînes singulières de V sont représentables par les q-chaînes plongées transverses à F, pour tout q ≤ n = codim F.

This work is divided into two parts : the first, dealing with homologies of imbedded simplices in a smooth manifold, is a particular case which is needed for the second part concerned with the Sectionnal homology (Shih’s homology) of a submersion. Given a smooth manifold Vⁿ, the homology of Ck (1 ≤ k ≤ ∞). We show that this homology, which is one of the main problems araising, yield to the definition of homologies of p-transverse fields in V (p ≥ 1). The exact sequence of complexes of transverse fields allows us to show that all these homologies are also canonically isomorphic to singular homology, as soon as dimensions make it possible.