Homologies non-singulières d'une variété et homologie sectionnelle d'une submersion
Auteur / Autrice : | François Lalonde |
Direction : | Weishu Shih |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Sciences mathématiques |
Date : | Soutenance en 1985 |
Etablissement(s) : | Paris 11 |
Partenaire(s) de recherche : | Autre partenaire : Université de Paris-Sud. Faculté des sciences d'Orsay (Essonne) |
Jury : | Président / Présidente : René Thom |
Examinateurs / Examinatrices : Weishu Shih, René Thom, John N. Mather, Jean-Pierre Bourguignon, Jean Cerf, François Laudenbach | |
Rapporteurs / Rapporteuses : John N. Mather |
Mots clés
Mots clés libres
Résumé
Ce travail est constitué de deux parties, dont la première, portant sur l’homologie des simplexes plongés d’une variété lisse, est un cas particulier et un préalable à la seconde, portant sur l’homologie sectionnelle d’une submersion. Etant donnée une variété Vⁿ de classe C∞, l’homologie de plongements k-fois différentiables de V est l’homologie du complexe des chaînes finies de simplexes k-fois différentiables plongés à coefficients entiers (1 ≤ k ≤ ∞). On montre que cette homologie est isomorphe à l’homologie singulière de V en toutes dimensions, sauf la dimension n de la variété. L’une des difficultés pour obtenir ce résultat est d’établir l’invariance par subdivision de l »homologie de plongements dont la démonstration conduit naturellement à définir les homologies de p-champs transverses de V pour tout p ≥ 1. On montre, après avoir établi la suite exacte des complexes de champs transverses, que ces homologies sont également isomorphes à l’homologie singulière de V dès que les dimensions le permettent. Pour une application différentiable de Classe Ck, f : X₂→X₁ où X₁ et X₂ sont des vériétés lisses et 1 ≤ k ≤ ∞, l’homologie sectionnelle k-fois différentiable de f (homologie de Shih) est l’homologie du complexe des chaînes finies de simplexes sectionnels k-fois différentiables à coefficients entiers, un simplexe sectionnel k-fois différentiables étant une section locale de classe Ck de f au-dessus d’un simplexe k-fois différentiable plongé. On montre dans la seconde partie de ce travail, que si f est une submersion, cette homologie est canoniquement isomorphe à l’homologie singulière de X₂ en toutes dimensions inférieures à la dimension de X₁. En particulier, pour un feuilletage régulier (V,F) d’une variété lisse V, les q-chaînes singulières de V sont représentables par les q-chaînes plongées transverses à F, pour tout q ≤ n = codim F.