Homologies non-singulières d'une variété et homologie sectionnelle d'une submersion

par François Lalonde

Thèse de doctorat en Sciences mathématiques

Sous la direction de Weishu Shih.

Soutenue en 1985

à Paris 11 , en partenariat avec Université de Paris-Sud. Faculté des Sciences d'Orsay (Essonne) (autre partenaire) .

Le président du jury était René Thom.

Le jury était composé de Weishu Shih, René Thom, John N. Mather, Jean-Pierre Bourguignon, Jean Cerf, François Laudenbach.

Les rapporteurs étaient John N. Mather.

mots clés

• Champ transverse
• Simplexes (mathématiques)
• Fibrations (mathématiques)
• Feuilletages (mathématiques)

Résumé

Ce travail est constitué de deux parties, dont la première, portant sur l’homologie des simplexes plongés d’une variété lisse, est un cas particulier et un préalable à la seconde, portant sur l’homologie sectionnelle d’une submersion. Etant donnée une variété Vⁿ de classe C∞, l’homologie de plongements k-fois différentiables de V est l’homologie du complexe des chaînes finies de simplexes k-fois différentiables plongés à coefficients entiers (1 ≤ k ≤ ∞). On montre que cette homologie est isomorphe à l’homologie singulière de V en toutes dimensions, sauf la dimension n de la variété. L’une des difficultés pour obtenir ce résultat est d’établir l’invariance par subdivision de l »homologie de plongements dont la démonstration conduit naturellement à définir les homologies de p-champs transverses de V pour tout p ≥ 1. On montre, après avoir établi la suite exacte des complexes de champs transverses, que ces homologies sont également isomorphes à l’homologie singulière de V dès que les dimensions le permettent. Pour une application différentiable de Classe Ck, f : X₂→X₁ où X₁ et X₂ sont des vériétés lisses et 1 ≤ k ≤ ∞, l’homologie sectionnelle k-fois différentiable de f (homologie de Shih) est l’homologie du complexe des chaînes finies de simplexes sectionnels k-fois différentiables à coefficients entiers, un simplexe sectionnel k-fois différentiables étant une section locale de classe Ck de f au-dessus d’un simplexe k-fois différentiable plongé. On montre dans la seconde partie de ce travail, que si f est une submersion, cette homologie est canoniquement isomorphe à l’homologie singulière de X₂ en toutes dimensions inférieures à la dimension de X₁. En particulier, pour un feuilletage régulier (V,F) d’une variété lisse V, les q-chaînes singulières de V sont représentables par les q-chaînes plongées transverses à F, pour tout q ≤ n = codim F.

Titre traduit

Non singular homologies of a manifold and sectional homology of a submersion

Résumé

This work is divided into two parts : the first, dealing with homologies of imbedded simplices in a smooth manifold, is a particular case which is needed for the second part concerned with the Sectionnal homology (Shih’s homology) of a submersion. Given a smooth manifold Vⁿ, the homology of Ck (1 ≤ k ≤ ∞). We show that this homology, which is one of the main problems araising, yield to the definition of homologies of p-transverse fields in V (p ≥ 1). The exact sequence of complexes of transverse fields allows us to show that all these homologies are also canonically isomorphic to singular homology, as soon as dimensions make it possible.